Почалося все так...
Розповім спочатку, як усе почалося.
Був собі Олесь, і був у нього велосипед, на якому він проводив багато часу. Мандрував й відкривав для себе нові мальовничі закутки: річки та озера, долини та пагорби, містечка й села, старовинні фортеці та різноманітні історичні та природні пам'ятки. Власне, Олесь та його велосипед і досі є, і, дуже ймовірно, що саме у цей момент Олесь розробляє план чергової веломандрівки. Але про це, наразі, нема чого розповідати. Тож був собі Олесь із велосипедом.
Була в Олеся подруга Іванка. Вона час від часу приєднувалася до його велосипедних мандрівок на позичених в когось велосипедах, і, зрештою, їй це так сподобалося, що вона завела собі свій власний велосипед, який став її вірним товаришем. З того часу Іванка сама теж стала мандрувати на велосипеді, і, звичайно, стала значно частіше приєднуватися до велосипедних мандрівок Олеся.
Це певною мірою пояснює щодо велосипеда.
У одну з перших мандрівок, коли Іванка вже мала свій власний велосипед, вони їхали маршрутом із доволі складним рельєфом, із довгими підйомами, та такими ж довгими, але значно стрімкішими та швидшими спусками, коли можна не крутити педалі, а сила земного тяжіння сама розганяє тебе до такої швидкості, що аж дух переймає.
Тож у цю мандрівку обом велосипедистам спала на очі дивна обставина. На спусках Іванка постійно відставала від Олеся, хоча той зовсім не крутив педалі. Ця дивна обставина спонукала їх до обговорення можливих причин такого явища. Перше можливе пояснення висунув Олесь. Мовляв, велосипед в Іванки новий, та ще не роз'їздився, тому й не їде швидко. Бо чи то мастило поміж підшипниками ще не розмастилося, а чи підшипники не притерлися ще один до одного. Іванка лише знизала плечима, бо що ж це за діло, коли новісінький, гарненький велосипед їде гірше за досить таки потертий велосипед Олеся, котрий вже усяке бачив.
Так-так, це вже про здоровий глузд.
Через деякий час, вже іншим разом, у іншу мандрівку, коли весела пара велосипедистів виїхала на чергову гору, Олесеві спала на думку проста ідея, і він запропонував Іванці її перевірити... Тож вони обмінялися велосипедами й покотилися згори. Олесь на новому Іванчиному велосипеді, а Іванка на не зовсім новому велосипеді Олеся. І що ви думаєте сталося? Олесь відстав? А от і ні! Знов помчав уперед не торкаючись педалей, залишивши Іванку на кілька десятків метрів позаду. «Треба буде написати рівняння руху, звідти буде зрозуміло», — подумав Олесь і задумливо обмінявся назад велосипедами із Іванкою.
Тут варто сказати, що як Олесь так й Іванка любили математику. Тому думка про рівняння була у цій ситуації не якоюсь неочікуваною екстравагантністю, а радше звичайною для обох справою.
Це щодо математики.
Велосипедист, що котиться згори донизу
Так і з'явилася перша історія, що поєднала у собі велосипед, здоровий глузд та математику. Прослідкуймо ж за Олесевими й Іванчиними міркуваннями.
Перша спроба
Припустімо, що маємо схил із кутом ухилу $\alpha$.
Якщо велосипедист не крутить педалі, то єдина сила, яка розганяє велосипед — це сила земного тяжіння. Нас цікавить лише її складова, що направлена у напрямку руху, отже
\[
F=mg\sin\alpha.
\]
За другим законом Ньютона, сила, яка діє на тіло дорівнює масі тіла помноженій на його прискорення: \[ \vec F=m\cdot \vec a, \] де $g$ — прискорення вільного падіння.
Використовуючи це, ми отримуємо рівняння руху \[ m\cdot a = mg\sin\alpha, \] або ж, поділивши обидві частини на $m$, \[ a = g\sin\alpha. \]
То що, виходить, що прискорення велосипедиста зовсім не залежить від його маси і, отже, різні велосипедисти мають котитися з однаковою швидкістю? У цій моделі, дійсно так виходить, хоча, як Олесь з Іванкою знали, це зовсім не відповідає дійсності. Отже, така фізична модель цілковито незадовільна для того, щоб пояснити, чому важчий велосипедист швидше котиться. Іншими словами, не враховувати сили тертя, які діють та велосипед та велосипедиста, — це невірно.
Враховуючи опір повітря та тертя.
Ну добре-добре, двоє велосипедистів розпочали усе від початку, тепер вже враховуючи сили тертя.
Які сили діють на велосипед? Їх можна розділити на сили, які велосипед розганяють, та сили, які велосипед гальмують.
Нехай $\vec F_1$ — це сума сил, що розганяють, і нехай $\vec F_2$ — це сума сил, які гальмують велосипед.
Якщо велосипедист не крутить педалі, то єдина сила, яка розганяє велосипед — це сила земного тяжіння. Нас цікавить лише її складова, що направлена у напрямку руху, отже, як ми вже розібралися раніше, \[ F_1=mg\sin\alpha, \] де $g$ — прискорення вільного падіння. Важливо, що ця сила пропорційна до маси $m$ системи, що складається з велосипеда та велосипедиста.
Гальмівні ж сили — це сила опору повітря, та сила тертя кочення. Сила опору повітря $F_a$ пропорційна до квадрату швидкості руху із деяким коефіцієнтом пропорційності $\eta$, отже \[ F_a=\eta\cdot v^2. \]
?:Сила тертя кочення $F_f$ ж пропорційна до компоненти сили тяжіння, яка направлена перпендикулярно до поверхні кочення й дорівнює $mg\cdot \cos\alpha$, отже \[ F_f=\mu\cdot mg\cdot \cos\alpha, \] де $\mu$ — це коефіцієнт тертя кочення. Важливо, що ця сила пропорційна до маси $m$ системи, що складається з велосипеда та велосипедиста. Отже \[ F_2=F_a+F_f, \] і тому для результуючої сили \( \vec F=\vec F_1-\vec F_2 \) ми отримуємо \[ F=k\cdot m-\eta\cdot v^2, \quad k=g\sin\alpha-\mu g\cos\alpha. \]
За другим законом Ньютона, сила, яка діє на тіло дорівнює масі тіла помноженій на його прискорення: \[ \vec F=m\cdot \vec a. \] Використовуючи це, ми отримуємо рівняння руху \[ m\cdot a = k\cdot m-\eta\cdot v^2, \] або ж, поділивши обидві частини на $m$, \begin{equation}\label{eq: downhill} a=k-\frac{\eta}{m}\cdot v^2. \end{equation}
Звернімо нашу увагу на те, що величина $k$ не залежить від характеристик велосипедиста. Тобто, якби ми не врахували опір повітря, а лише тертя кочення, то ця модель теж би була непридатною для наших потреб.
За умови незмінності інших величин зрозуміло, що при зростанні маси $m$, величина $k-\frac{\eta}{m}\cdot v^2$ теж зростає. Це означає, що велосипед з важчим велосипедистом має більше прискорення, а отже швидше набирає швидкість і, в результаті, рухається швидше!
То що? Питання з'ясоване? Не зовсім...
Справа в тому, що коефіціент $\eta$ опору повітря пропорційний до площі фронтальної проекції тіла, що рухається. Оскільки важчий велосипедист має, взагалі кажучи, мати більші розміри, варто також врахувати цей аспект. Однак, оскільки маса пропорційна до куба лінійних розмірів, а площа — до квадрата, то логічно було б вважати, що величина коефіцієнта $\eta$ пропорційна до $m^{\frac{2}{3}}$, тобто \[ \eta=\bar\eta\cdot m^{\frac{2}{3}} \] для деякого $\bar\eta$.
Тоді рівняння руху виглядатиме \begin{equation*} a=k-\frac{\bar\eta}{m^{\frac{1}{3}}}\cdot v^2, \end{equation*} тобто, усе ж, прискорення дійсно зростатиме з зростанням маси велосипедиста. Це пояснює явище, яке на собі спостерігали велосипедисти Олесь та Іванка, оскільки Іванка значно легша за Олеся...
...Але зачекайте. Здається, ми забули щось важливе. А обертання коліс? Було б, мабуть, природно врахувати також це?
Враховуючи обертання коліс
І дійсно, маємо врахувати енергію обертання коліс. Нехай $m_1$ — маса переднього колеса, нехай $m_2$ — маса заднього колеса. Нехай $m_0$ — маса велосипедиста разом з рештою велосипеда. Тоді загальна маса $m=m_0+m_1+m_2$.
Коли велосипед рухається, його кінетична енергія — це енергія поступального руху $\frac{m v^2}{2}$ та енергія обертання коліс $\frac{I_1 \omega^2}{2}+\frac{I_2 \omega^2}{2}$, де $\frac{I_1 \omega^2}{2}$ — це енергія обертання переднього колеса, а $\frac{I_2 \omega^2}{2}$ — енергія обертання заднього колеса. Тут $\omega$ — це кутова швидкість обертання коліс велосипеда, а $I_1$ та $I_2$ — це моменти інерції переднього та заднього колеса відповідно. Отже загальна кінетична енергія системи $E$ описується формулою \[ E=\frac{m v^2}{2}+\frac{I_1 \omega^2}{2}+\frac{I_2 \omega^2}{2}. \] Тут варто нагадати, що кутова швидкість обертання коліс та лінійна швидкість руху велосипеда з велосипедистом пов'язані формулою \[ \omega R=v, \] де $R$ — це радіус коліс велосипеда.
Оскільки кожне колесо — це щось середнє між кільцем та диском, однак ближче до кільця, то відповідні моменти інерції можна записати як \[ I_i=\lambda_i m_i R^2,\quad0<\lambda_i < 1 , \quad i=1,2, \] із коефіцієнтами $\lambda_i$ ближчими до $1$, аніж до $0$. Тому \[ E=\frac{m v^2}{2}+\frac{\lambda_1 m_1 v^2}{2}+\frac{\lambda_2 m_2 v^2}{2}=\frac{(m+\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2)v^2}{2}. \]
За невеличкий проміжок часу $\Delta t$, сила $\vec F$ виконує роботу $F\cdot v\Delta t$, тобто \[ (km-\eta v^2)\cdot v\Delta t. \] За цей самий час кінетична енергія зміниться на \[ \Delta E=E'\cdot \Delta t= (m+\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2)vv'\Delta t=(m+\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2)v\cdot a\Delta t, \] де $E'$ — це похідна енергії по часу. За законом збереження енергії маємо \[ F\cdot v\Delta t=\Delta E \] і, враховуючи, що похідна від швидкості $v'$ — це прискорення $a$, отримуємо рівняння \[ (m+\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2)va\Delta t=(km-\eta v^2)v \Delta t, \] яке після скорочення $v\Delta t$ матиме вигляд \[ (m+\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2)a= km-\eta v^2, \] або ж \begin{equation}\label{eq: downhill wheels} \lambda a= k-\frac{\eta}{m} v^2, \quad \lambda= 1+\frac{\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2}{m}. \end{equation} Це рівняння дуже схоже на рівняння (\ref{eq: downhill}).
Враховуючи наше припушення $\eta=\bar \eta m^{2/3}$, можемо записати це рівняння у вигляді \[ a=\frac{k-\frac{\eta}{m} v^2}{1+\cfrac{\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2}{m}}= \frac{k-\cfrac{\bar\eta}{m^{1/3}} v^2}{1+\cfrac{\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2}{m}}. \] Розгляньмо цей вираз \[ f(m)=\frac{k-\cfrac{\bar\eta}{m^{1/3}} v^2}{1+\cfrac{\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2}{m}}, \] як функцію від маси $m$, та дослідімо її монотонність за допомогою похідної. Похідна обраховується порівняно просто: \begin{align*} f'(m)= \frac{\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{\bar\eta v^2}{m^{4/3}}\cdot\left(1+\cfrac{\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2}{m}\right)+ \cfrac{\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2}{m^2}\cdot\left( k-\cfrac{\bar\eta v^2}{m^{1/3}}\right) } {\left(1+\cfrac{\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2}{m}\right)^2}=\\ =\frac{\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{\bar\eta v^2}{m^{4/3}}\cdot\left(1-2\cfrac{\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2}{m}\right)+ \cfrac{k(\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2)}{m^2} } {\left(1+\cfrac{\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2}{m}\right)^2}. \end{align*}
Чи знаменник завжди додатний? На перший погляд, видається, що ні. Але якщо \[ 1-2\frac{\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2}{m}\ge 0, \] тобто якщо \[ 2\cdot(\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2) \le m, \] то, безумовно, так. Оскільки коефіцієнти $\lambda_1$, $\lambda_2$ не перевищують $1$, то для додатності похідної $f'(m)$ достатньо, якщо виконуватиметься умова \[ 2\cdot(m_1+m_2) \le m, \] тобто подвійна маса коліс не має перевищувати загальну масу системи. Оскільки остання умова, безумовно виконується, то прискорення дійсно зростатиме із зростанням маси велосипедиста.
Хоча Олесь знайшов математичну відповідь на своє питання, він, усе ж, не був цілковито задоволений собою.
...А що, якщо змайструвати велосипед із надзвичайно важкими колесами, тобто, щоб виконувалося \[ 2\frac{\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2}{m}-1>0. \] Невже, в цьому випадку могло б так статися, що Іванка б котилася вниз швидше за нього? Цікаво-цікаво...
Тож Олесь припустив, що \[ 2\frac{\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2}{m}-1>0, \] й почав досліджувати, чи похідна $f'(m)$ може бути від'ємною, що означало б, що легший велосипедист швидше б розганявся.
Знак виразу \begin{align*} \cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{\bar\eta v^2}{m^{4/3}}\cdot\left(1-2\cfrac{\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2}{m}\right)+ \cfrac{k(\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2)}{m^2} \end{align*} збігається із знаком виразу \begin{align*} \cfrac{1}{3}\cdot \bar\eta m^{2/3} v^2\cdot\left(1-2\cfrac{\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2}{m}\right)+ k(\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2). \end{align*} Оскільки $\eta=\bar \eta m^{2/3}$, то цей вираз можна записати у вигляді \begin{align*} \cfrac{1}{3}\cdot \eta v^2\cdot\left(1-2\cfrac{\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2}{m}\right)+ k(\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2). \end{align*} Враховуючи, що $F_a=\eta v^2$, перепишемо його ще раз у вигляді \begin{align*} \cfrac{1}{3}\cdot F_a \cdot\left(1-2\cfrac{\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2}{m}\right)+ k(\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2). \end{align*} Зрештою, оскільки $F_a\le km$, адже ми розгядаємо рух лише під дією сили тяжіння, й без використання педалей, то, оскільки ми припустили, що $2(\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2)>m$, маємо \begin{align*} \cfrac{1}{3}\cdot F_a \cdot\left(1-2\cfrac{\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2}{m}\right)+ k(\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2)\ge\\ \ge \cfrac{1}{3}\cdot k m \cdot\left(1-2\cfrac{\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2}{m}\right)+ k(\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2)=\\ =\cfrac{1}{3}\cdot k m+\cfrac{1}{3}\cdot k(\lambda_1 m_1+\lambda_2 m_2). \end{align*} Оскільки останній вираз, вочевидь, додатний, то робимо висновок, що похідна $f'(m)$ завжди додатна, а значить, важчий велосипедист завжди буде швидше розганятися під дією сили тяжіння!
До речі, а яку максимальну швидкість $v_{max}$ може досягти велосипедист, котячись схилом донизу. Вочевидь, таку, коли сила опору повітря та тертя врівноважуватиме силу тяжіння, тобто таку швидкість, коли прискорення $a$ дорівнюватиме нулеві, тобто \[ k-\frac{\eta}{m}\cdot v_{max}^2=0, \] а отже \[ v_{max}=\sqrt{\frac{km}{\eta}}. \]
Розв'язуючи диференціальні рівняння
Диференціальне рівняння руху
Досліджуючи питання, щодо того, чому важчий велосипедист швидше котиться схилом донизу, Олесь звернув увагу, що фактично зміг зробити висновки про розв'язки рівнянь (\ref{eq: downhill}) та (\ref{eq: downhill wheels}) не розв'язуючи їх.
Хм... Рівнянь? Відносно якої змінної? Та відносно ж швидкості $v$! А як їх можна розв'язати, якщо там ще одна невідома є, а саме прискорення $a$? Але ж прискорення — це просто похідна швидкості по часу, тобто швидкість зміни швидкості. Тобто рівняння (\ref{eq: downhill wheels}), записане у формі \[ \lambda v'= k-\frac{\eta}{m} v^2, \] має лише одну невідому величину. Це приклад диференціального рівняння. Дійсно, Олесь, не розв'язуючи цього рівняння зумів пояснити, що при більших значеннях маси $m$, швидкість $v$ буде вищою. Вміння описати певні властивості якогось математичного об'єкта, не маючи самого цього об'єкта, а лише його непрямий опис, скажімо рівняння, яке він задовольняє, — це, власне, одна з характерних рис математичної діяльності.
Ну добре, але як, усе ж, розв'язати наше диференціальне рівняння?
Розділення змінних
Після декількох спроб Олесь переписав рівняння руху (\ref{eq: downhill wheels}) у вигляді \begin{equation}\label{eq: downhill wheels solve} \lambda \frac{v'}{v^2-\frac{km}{\eta}}=-\frac{\eta}{m}. \end{equation} Звернімо увагу, що змінна, відносно якої ми бажаємо розв'язати рівняння, тобто $v$, присутня лише у лівій частині рівняння. Водночас, у лівій частині рівняння відсутня змінна, від якої залежить шукана невідома, у нашому випадку — це час $t$. Олесь застосував тут так званий метод розділення змінних.
?:Тут варто сказати, що рівняння (\ref{eq: downhill wheels solve}) має сенс, лише якщо $v^2\neq \frac{km}{\eta}$. Водночас це дає сталий розв'язок $v(t)=\sqrt{\frac{km}{\eta}}$ вихідного рівняння, у якому швидкість стала і не залежить від часу.
Інтегрування
Далі Олесь помітив, що має місце рівність \[ \frac{1}{v^2-\frac{km}{\eta}}= \frac{1}{2\cdot \sqrt{\frac{km}{\eta}} }\cdot\left(\frac{1}{v-\sqrt{\frac{km}{\eta}}}-\frac{1}{v+\sqrt{\frac{km}{\eta}}}\right). \]
?:Тому можна нескладно обрахувати первісну функцію функції $\frac{1}{v^2-\frac{km}{\eta}}$, а саме: \begin{align*} \int \frac{1}{v^2-\frac{km}{\eta}} dv= &\int \frac{1}{2\cdot \sqrt{\frac{km}{\eta}}} \cdot\left(\frac{1}{v-\sqrt{\frac{km}{\eta}}}-\frac{1}{v+\sqrt{\frac{km}{\eta}}}\right) dv=\\ =&\frac{1}{2\cdot \sqrt{\frac{km}{\eta}}}\cdot \int\left(\frac{1}{v-\sqrt{\frac{km}{\eta}}}-\frac{1}{v+\sqrt{\frac{km}{\eta}}}\right) dv=\\ =&\frac{1}{2\cdot \sqrt{\frac{km}{\eta}}}\cdot \left( \int\frac{1}{v-\sqrt{\frac{km}{\eta}}} dv-\int \frac{1}{v+\sqrt{\frac{km}{\eta}}} dv\right)=\\ =&\frac{1}{2\cdot \sqrt{\frac{km}{\eta}} }\cdot \ln\left|v-\sqrt{\frac{km}{\eta}}\right| -\ln\left|v+{\sqrt{\frac{km}{\eta}}}\right|=\\ =&\frac{1}{2\cdot \sqrt{\frac{km}{\eta}} }\cdot \ln{\left| \frac{v-\sqrt{\frac{km}{\eta}}}{v+\sqrt{\frac{km}{\eta}} }\right|}. \end{align*} Тому, обраховуючи первісні функції лівої та правої частин рівняння (\ref{eq: downhill wheels solve}), й враховуючи, що дві первісні тієї й самої функції можуть відрізнятися на константу, отримуємо рівність \[ \frac{\lambda}{2\cdot \sqrt{\frac{km}{\eta}} }\cdot \ln{\left| \frac{v-\sqrt{\frac{km}{\eta}}}{v+\sqrt{\frac{km}{\eta}} }\right|}=-\frac{\eta}{m}\cdot t +const, \] яку переписуємо у вигляді \[ \ln{\left| \frac{v-\sqrt{\frac{km}{\eta}}}{v+\sqrt{\frac{km}{\eta}} }\right|}=-\frac{2}{\lambda}\sqrt{\frac{k\eta}{m}}\cdot t +const. \] Беручи експоненційну функцію від обох частин цієї функції, отримуємо \[ e^{\ln{\left| \frac{v-\sqrt{\frac{km}{\eta}}}{v+\sqrt{\frac{km}{\eta}} }\right|}}=e^{-\frac{2}{\lambda}\sqrt{\frac{k\eta}{m}}\cdot t +const}, \] і зрештою \[ \frac{v-\sqrt{\frac{km}{\eta}}}{v+\sqrt{\frac{km}{\eta}} }=C\cdot e^{-\frac{2}{\lambda}\sqrt{\frac{k\eta}{m}}\cdot t}. \]
Як бачимо, ми отримали цілу сім'ю розв'язків рівняння (\ref{eq: downhill}). Для кожного значення $C$ маємо окремий розв'язок.
Сталий розв'язок $v(t)=\sqrt{\frac{km}{\eta}}$, до речі, також врахований для $C=0$.
Враховуючи початкові умови
Значення константи $C$ можна визначити із початкових умов. А саме, оскільки рівність має виконуватися, зокрема, у момент часу $t=0$, то відразу отримуємо \[ C=\frac{v(0)-\sqrt{\frac{km}{\eta}}}{v(0)+\sqrt{\frac{km}{\eta}} }=\frac{v_0-\sqrt{\frac{km}{\eta}}}{v_0+\sqrt{\frac{km}{\eta}} }, \quad v_0=v(0). \] Отже, швидкість руху визначається формулою \begin{equation}\label{eq: downhill solution speed} v(t)=\sqrt{\frac{km}{\eta}}\cdot\frac{1+C\cdot e^{-\frac{2}{\lambda}\sqrt{\frac{k\eta}{m}}\cdot t} } {1-C\cdot e^{-\frac{2}{\lambda}\sqrt{\frac{k\eta}{m}}\cdot t}}, \end{equation} де константа $C$ визначена, як щойно пояснено. Зауважмо, що $C=-1$, якщо $v_0=0$.
Деякі властивості
Звернімо увагу, що \[ v(t)\to \sqrt{\frac{km}{\eta}}, t\to \infty, \] тобто розв'язки з плином часом все більше наближаються до сталого розв'язку $v(t)=\sqrt{\frac{km}{\eta}}$. Однак ми це вже змогли зрозуміти раніше, не розв'язуючи рівняння.
Функцію (\ref{eq: downhill solution speed}) можна дослідити на монотонність відносно $m$ і прийти до вже відомого нам висновку, що із зростанням маси, швидкість велосипедиста зростає.
Залежність шляху від часу
А як залежатиме від часу шлях $x$, який подолає велосипедист? Оскільки $v(t)=x'(t)$, то з рівності (\ref{eq: downhill solution speed}), яку можна розглядати як диференціальне рівняння із вже розділеними змінними, матимемо \begin{align*} x(t)=&\int \sqrt{\frac{km}{\eta}}\cdot\frac{1+C\cdot e^{-\frac{2}{\lambda}\sqrt{\frac{k\eta}{m}}\cdot t} } {1-C\cdot e^{-\frac{2}{\lambda}\sqrt{\frac{k\eta}{m}}\cdot t}}dt + const=\\ =&\sqrt{\frac{km}{\eta}}\cdot \int\left(1+2\cdot \frac{C\cdot e^{-\frac{2}{\lambda}\sqrt{\frac{k\eta}{m}}\cdot t} } {1-C\cdot e^{-\frac{2}{\lambda}\sqrt{\frac{k\eta}{m}}\cdot t}} \right)dt + const=\\ =&\sqrt{\frac{km}{\eta}}\cdot \left( t+ \lambda \ln|1-C\cdot e^{-\frac{2}{\lambda}\sqrt{\frac{k\eta}{m}}\cdot t}| \right)+const. \end{align*} У момент часу $t=0$ матимемо \[ x_0=x(0)=\sqrt{\frac{km}{\eta}}\cdot \lambda \ln|1-C| +const. \] Тому \begin{equation}\label{eq: downhill solution path} x(t)=\sqrt{\frac{km}{\eta}}\cdot \left( t + \lambda \ln\left|\frac{1-C\cdot e^{-\frac{2}{\lambda}\sqrt{\frac{k\eta}{m}}\cdot t}}{1-C}\right| \right)+x_0. \end{equation}
Використовуючи формулу (\ref{eq: downhill solution path}), Олесь створив простеньку комп'ютерну візуалізацію моделі велосипедиста, який котиться донизу. Провести власні експерименти можна за інтернет-адресою www.velostories.iena.info/down.
Змащуючи велосипедний цеп
Що, чому та звідки
Одного зимового, хоча й теплого та радше сухого, дня, ближче до вечора, хоча ще було досить таки світло, Олесь їхав на своєму велосипеді. Ліворуч був берег річки, порослий очеретом, праворуч — пагорб, вкритий знизу зеленою травою, а згори — густим лісом, який однак вже давненько скинув своє листя до наступної весни й тому видавався менш густим. Олесеву увагу привернуло торохтіння цепу його велосипеда. Й дійсно, він давненько вже його не змащував, то ж не дивно, що той таким чином давав про себе знати. Олесь зупинився, дістав із велосипедної сумки мастило, звичними рухами відкрутив пляшечку, крапнув кілька крапель на задню зірочку й поїхав собі далі. Через декілька десятків метрів цеп припинив торохтіти, й знов лише заклопотано шарудів, обплітаючи знов та знов велосипедні зірочки. Мастило, вочевидь, розподілилося по всьому цепу та зірочках, і справно робило свою справу...
...Але ж зачекайте, а хто сказав, що так має бути завжди? Хіба це правда, що мастило завжди розподіляється по усій довжині цепу та по усіх краях зірочок? Такі питання, чомусь, зароїлися у Олесевій голові дорогою додому. Так йому спала на думку задача про змащення цепу.
Модель
Вже діставшись додому, Олесь почав розмірковувати про нову задачу, яка так неочікувано навідалася до нього. Достатньо швидко стало зрозумілим, що, перш за все, необхідно створити більш чи менш адекватну математичну модель обертання велосипедного цепу. Зрештою, в Олеся вийшов такий от формальний опис.
- Поверхня зірочок складається з напівкруглих заглибин.
- Цеп складається з валичків (роликів) — циліндричних елементів, які потрапляють у заглибини зірочок при обертанні цепу.
- Між собою контактують та обмінюються мастилом лише заглибини зірочок та валички цепу.
- Сусідні заглибини зірочок поміж собою мастилом не обмінюються.
- Сусідні валички цепу поміж собою мастилом не обмінюються.
- При обертанні цепу система не втрачає та не набуває мастила.
- При зустрічі заглибини та валичка ми вважаємо, що вони обмінюються мастилом так, що їхня змащеність стає однаковою. Іншими словами, якщо відбувається зустріч заглибини із змащеністю $x$ з валичком із змащеністю $y$, то після контакту змащеність кожного елемента дорівнюватиме $\frac{x+y}{2}$.
- Змащеність цепу стабілізується — це така ситуація, коли з плином часу, за умови обертання цепу, змащеність кожного з елементів прямує до певного значення, тобто з плином часу усе менше й менше від цього значення відрізняється.
- Рівномірна змащеність цепу — це така ситуація, коли змащеність цепу стабілізується таким чином, що змащеність кожного з елементів прямує до того ж самого значення, тобто з плином часу змащеності різних елементів системи відрізняються одна від одної усе менше й менше.
Напевне, потрібно зауважити, що Олесь зовсім не стведжував, що даний опис дійсно достатньо адекватно моделює процеси розподілу мастила у велосипедному цепі. Однак, ця, радше іграшкова, модель достатньо проста й чітка, щоб, щонайменше, слугувати основою для подальшого дослідження поведінки мастила у системі з цепу та зірочок.
Більше того, хоча у Олесевому велосипеді й багато зірочок та варіантів передач, для спрощення, він вирішив розглянути найпростішу систему, у якій є один цеп та дві зірочки — передня та задня.
Зрештою, Олесь зміг сформулювати цілком конкретну математичну задачу.
Задача
У рамках моделі, яка описана вище, відповісти на наступні запитання.
- Чи правда, що, незалежно від початкових умов змащеності елементів цепу та зірочок, завжди досягається рівномірна змащеність цепу?
- Якщо рівномірна змащеність не завжди досяжна, охарактеризувати випадки, коли вона, все ж, має місце.
- Чи правда, що, незалежно від початкових умов змащеності елементів цепу та зірочок, змащеність цепу завжди стабілізується?
- Якщо стабілізація не завжди досяжна, то описати випадки, коли вона, все ж, має місце.
У подальшому ми можемо прослідкувати за міркуваннями Олеся на шляху до розв'язку сформульованої щойно задачі.
Вхідні дані
Від яких параметрів залежить наша система? Зрозуміло, що це довжина цепу $L$, тобто кількість валичків, з яких він складається, кількість заглибин $M$ на передній зірочці та кількість заглибин $N$ на задній зірочці. Отже, відповідь на сформульовану задачу має залежати від трьох додатних цілих чисел $L$, $M$, $N$.
Перші приклади та експерименти
Спочатку Олесь вирішив розглянути деякі приклади. Розгляньмо їх й ми. Почнімо з найпростішого прикладу.
Приклад
Припустімо, що змащеність усіх елементів цепу від початку однакова. Тоді у результаті обертання їхня змащеність не змінюватиметься. Це означає, що дійсно існують ситуації, коли досягається рівномірна змащеність.
Для експериментування Олесь запрограмував простеньку візуальну реалізацію своєї моделі. Це візуалізація, за допомогою якої можна експериментувати із різними вхідними даними, доступна за інтернет-адресою www.velostories.iena.info/chain. У ній на початку обертання лише один валичок цепу змащений мастилом. Читач запрошується провести свої власні експерименти, а Олесь з допомогою своєї візуальної моделі, досить швидко отримав такий приклад.
Приклад
Для чисел $L=15$, $M=10$, $N=5$ та початкових умов, коли мастило є лише на одному елементі системи, мастило буде розподілятися лише поміж трьох валичків цепу, двох заглиблень передньої зірочки, та одного заглиблення задньої зірочки. Отже, існують ситуації, коли рівномірна змащеність не досягається.
Олесь тут подумав, що, можливо, у даному випадку, недосяжність рівномірної змащеності якось пов'язана із тим, що усі числа $15$, $10$ та $5$ подільні на $5$.
Експериментуючи далі, Олесеві, однак, не вдалося швидко знайти приклад, який би демонстрував, що стабілізація не завжди досяжна. Тому, Олесь сформулював собі гіпотезу, що стабілізація змащеності відбувається завжди, хоча й ще не міг це довести.
Деякі спостереження
Циклічність
Обертаючи систему з цепу та зірочок, ми змінюємо положення її елементів. Зауважмо, однак, що усі елементи системи повертаються на свої місця після зміщення цепу на найменше спільне кратне чисел \[ L,\quad M,\quad N. \] Одне таке провертання ми називатимемо циклом системи.
Контактуючі класи
Як ми вже побачили на прикладі з числами $L=15$, $M=10$, $N=5$, можуть бути ситуації, коли мастило залишається лише на певних елементах, й не розподіляється далі. Для подальшого дослідження цього явища, Олесь запровадив таку термінологію.
Означення
Ми кажемо, що два елементи системи (заглибини зірочок та валички цепу) знаходяться у одному контактуючому класі, якщо вони доторкаються один до одного безпосередньо, або ж через посередників.Таким чином, усі елементи системи можна поділити на скінчену кількість контактуючих класів. Із опису нашої моделі випливає, що різні контактуючі класи мастилом між собою не обмінюються. Тому, якщо спочатку у різних контактуючих класах була різна сумарна кількість мастила, то на його рівномірний розподіл сподіватися годі.
Це означає, зокрема, що надія на рівномірний розподіл мастила може бути лише у випадках, коли контактуючий клас єдиний. Тому варто розібратися, при яких значеннях чисел $L$, $M$, $N$ це стається.
Олесь з цим питанням досить швидко впорався й прийшов до висновку, що кількість контактуючих класів дорівнює найбільшому спільному дільникові $d$ чисел $L$, $M$, $N$. При цьому елементи з одного контактуючого класу розташовуються на відстані $d$ один від одного. Таким чином, контактуючий клас єдиний тоді і лише тоді, коли найбільший спільний дільник чисел $L$, $M$ та $N$ дорівнює $1$. Для доведення цих тверджень достатньо скористатися фактом, що найбільший спільний дільник чисел $L$, $M$ та $N$ — це найменше додатне ціле число, яке можна записати у вигляді \[ \lambda\cdot L+\mu\cdot M+\nu\cdot N \] для якихось цілих чисел $\lambda$, $\mu$, $\nu$.
Деякі важливі величини
Пронумеруймо якимось чином заглибини та валички та позначмо їхні змащеності. Змащеності — це невід'ємні дійсні числа, які відповідають кількості мастила на даному елементі, виміряні у певних одиницях.
Нехай $c_1, \dots, c_L$ — це змащеності валичків цепу. Нехай $f_1, \dots, f_M$ — це змащеності заглибин передньої зірочки, й нехай $r_1, \dots, r_M$ — це змащеності заглибин задньої зірочки.
Нехай $S$ — це загальна кількість мастила у системі, тобто сума усіх $c_i$, $f_j$, $r_k$. Тоді \[ a=\frac{S}{L+M+N} \] — це усереднена кількість мастила, що припадає на кожен елемент системи.
Величина \[ \sigma=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^L(c_i-a)^2+\sum\limits_{j=1}^M (f_j-a)^2+ \sum\limits_{k=1}^N(r_k-a)^2}{L+M+N}} \] це середньо-квадратичне відхилення змащеності системи.
Зручніше розглядати величину \[ D=\sqrt{L+M+N}\cdot \sigma=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^L(c_i-a)^2+\sum\limits_{j=1}^M (f_j-a)^2+ \sum\limits_{k=1}^N(r_k-a)^2}, \] або ж її квадрат \[ D^2=\sum\limits_{i=1}^L(c_i-a)^2+\sum\limits_{j=1}^M (f_j-a)^2+ \sum\limits_{k=1}^N(r_k-a)^2. \]
Говорячи про стан системи у момент часу $t$, де $t$ невід'ємне ціле число, ми матимемо на увазі стан системи після її прокручування на $t$ ланок від початкового положення.
Говорячи про значення певної величини, скажімо, для прикладу, $D$ або $D^2$, у момент часу $t$ ми писатимемо $D(t)$, $D^2(t)$ і т.п.
Зауважмо, що рівномірний розподіл мастила має місце тоді й лише тоді, коли існує та дорівнює нулеві границя $\lim\limits_{t\to\infty}D(t).$
Середньо-квадратичне відхилення змащеності стабілізується
Прокручуючи цеп на одну ланку, ми змінюємо значення змащеностей чотирьох елементів, а саме, однієї заглибини передньої зірочки, однієї заглибини задньої зірочки та двох валичків цепу, один з яких контактує з заглибиною передньої зірочки, а інший з заглибиною задньої зірочки.
Якщо перед контактом, у момент часу $t$, змащеність заглибини передньої зірочки була $x$, а змащеність відповідного валичка $y$, то після прокручування цепу на одну ланку, у момент часу $t+1$, змащеність обох елементів буде $\frac{x+y}{2}$.
Якщо перед контактом змащеність заглибини задньої зірочки була $u$, а змащеність відповідного валичка $v$, то після контакту змащеність обох елементів буде $\frac{u+v}{2}$.
Обрахуємо зміну величини $D^2$ при такому контакті. Оскільки зміни відбуваються лише у чотирьох згаданих елементах, то різниця $D^2(t)-D^2(t+1)$ дорівнює \begin{align*} &(x-a)^2+(y-a)^2+(u-a)^2+(v-a)^2-\\ -&\left(\frac{x+y}{2}-a\right)^2-\left(\frac{x+y}{2}-a\right)^2-\left(\frac{u+v}{2}-a\right)^2-\left(\frac{u+v}{2}-a\right)^2, \end{align*} що читач може обрахувати самостійно й пересвідчитися, що результат дорівнює \[ \frac{1}{2}(x-y)^2 +\frac{1}{2}(u-v)^2, \] й, зокрема, є невід'ємним.
Таким чином, ми бачимо, що послідовності \[ D^2(t), D^2(t+1), D^2(t+2),\dots \] та \[ D(t), D(t+1), D(t+2),\dots \] неспадні. Оскільки усі величини $D^2(t)$ та $D(t)$ невід'ємні, то ці послідовності ще й обмежені. Оскільки монотонні обмежені послідовності мають границі, то існують границі \[ \lim\limits_{t\to\infty}D^2(t)\text{ та }\lim\limits_{t\to\infty}D(t). \]
Нагадаймо, що рівномірний розподіл мастила має місце тоді й лише тоді, коли границя $\lim\limits_{t\to\infty}D^2(t)$ дорівнює нулеві.
Оскільки, як щойно пораховано нами, на кожному кроці величина $D^2$ зменшується на половину суми квадратів різниць контактуючих між собою елементів, то звідси також випливає, що квадрат різниці, а отже й сама різниця змащеності контактуючих між собою елементів прямує до нуля з плином часу та обертанням велосипедного цепу.
Тоді також прямують до нуля різниці послідовних значень змащеності конкретного елемента системи. Це так, оскільки мають місце рівності \[ \frac{x+y}{2}-x=\frac{y-x}{2}, \quad \frac{x+y}{2}-y=\frac{x-y}{2}. \]
З останнього ж випливає, що зміна змащеності певного елемента протягом одного циклу обертання прямує до нуля. Для цього достатньо застосувати кілька разів нерівність трикутника: якщо певний елемент має послідовні значення змащеності \[ x_1, x_2, \dots, x_s, \] то тоді величину $|x_1-x_s|$ можна оцінити згори наступним чином. \[ |x_1-x_s|=|x_1-x_2+x_2-\dots+x_{s-1}-x_s|\le|x_1-x_2|+\dots+|x_{s-1}-x_s|. \]
Тут Олесь вже майже був подумав, що ствердно відповів на питання щодо стабілізації, але, перевіривши свої міркування, все ж зауважив, що з того, що змащеність елемента дуже мало змінюється протягом циклу, зовсім не випливає, що з плином часу такі малі зміни не можуть призвести до значної зміни змащеності. Тому, на цьому етапі, жодне з питань Олесевої задачі усе ще не розв'язане.
Найбільші та найменші значення змащеності стабілізуються
Нехай $\max(t)$ позначає найбільше значення змащеності серед усіх елементів системи у момент часу $t$, а $\min(t)$ нехай, відповідно, позначає найменше значення змащеності. Оскільки для $x\le y$ \[ x\le\frac{x+y}{2}\le y, \] то зрозуміло, що послідовність \[ \max(t), \max(t+1), \max(t+2), \dots \] незростаюча, а послідовність \[ \min(t), \min(t+1), \min(t+2), \dots \] неспадна. Оскільки ці послідовності обмежують одна одну, тобто для довільного $t$ \[ \min(0)\le \min(t)\le \max(t)\le\max(0), \] то існують границі \( Max=\lim\limits_{t\to \infty}\min(t) \) та \( Min=\lim\limits_{t\to \infty}\max(t). \)
Рівномірний розподіл мастила у випадку єдиного контактуючого класу
Припустімо, що контактуючий клас єдиний й доведімо, що у цьому випадку $Max=Min$, тобто з плином часу мастило рівномірно розподіляється по системі.
- існуватиме елемент системи із змащеністю $x$, яка відрізнятиметься від $Min$ не більше, ніж на $\varepsilon$;
- існуватиме елемент системи із змащеністю $y$, яка відрізняється від $Max$ також не більше, ніж на $\varepsilon$;
- протягом циклу після часу $T$ значення змащеності кожного з елементів змінюється щонайбільше на $\varepsilon$.
Тоді \begin{align*} |Max-Min|=&|Max-x+x-y+y-Min|\le \\ \le&|Max-x|+|x-y|+|y-Min|\le \varepsilon +|x-y|+\varepsilon=2\varepsilon+|x-y|. \end{align*} Оскільки ми припустили, що існує лише єдиний контактуючий клас, то у межах одного циклу обертання, елемент із змащеністю $x$ доторкнеться (через посередників) до елемента із змащеністю $y$ після чого обидва матимуть змащеність $z$. Таким чином, \[ |x-y|=|x-z+z-y|\le |x-z|+|z-y|\le \varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon, \] а отже й \[ |Max-Min|\le 2\varepsilon+|x-y|\le 4\varepsilon. \]
Оскільки $\varepsilon$ може бути довільним, зокрема дуже маленьким, ми робимо висновок, що $Min=Max$.
Стабілізація змащеності
У кожному контактному класі відбувається немов би обертання іншого цепу із параметрами \[ \frac{L}{d},\quad \frac{M}{d},\quad \frac{N}{d}, \] де $d$ — це найбільший спільний дільник чисел $L$, $M$, $N$. Оскільки числа $\frac{L}{d}$, $\frac{M}{d}$, $\frac{N}{d}$ взаємно прості, то можна зробити висновок, що відбувається рівномірний розподіл мастила всередині кожного контактуючого класу, тобто має місце стабілізація змащеності.
Підсумовуючи отримані результати.
Таким чином Олесь вичерпно відповів собі на поставлені запитання.
Відповідь
- Рівномірна змащеність цепу досягається не завжди.
- Вона досягається незалежно від початкових умов змащеності тоді і лише тоді, коли числа $L$ (довжина цепу), $M$ (кількість заглибин передньої зірочки), $N$ (кількість заглибин задньої зірочки) взаємно прості, тобто їхній найбільший спільний дільник дорівнює одиниці.
- Змащеність цепу дійсно завжди стабілізується, при цьому досягається рівномірна змащеність всередині кожного контактуючого класу, чия кількість дорівнює найбільшому спільному дільникові чисел $L$, $M$ та $N$.
Аналізуючи свої міркування, Олесь із приємним здивуванням помітив, що ці міркування можуть також, із мінімальними змінами, бути застосовані до ситуації, коли система має не дві, а більшу кількість зірочок. Відповідь залишиться незмінною й залежатиме лише від найбільшого спільного дільника параметрів системи, тобто довжини цепу та кількості заглибин у зірочках.
Олесь уважно роздивився свій велосипед й помітив, що обидві зірочки на задньому перемикачі швидкостей, тобто зірочки, які направляють цеп при перемиканні швидкостей, мають по $11$ заглибин. Водночас кількість заглибин кожної з передніх зірочок, а саме $48$, $36$, $26$ не ділиться на $11$. Отже, незалежно від передачі, на якій відбувається рух на Олесевому велосипеді, та незалежно від початкової змащеності цепу, рівномірна змащеність цепу завжди досягається. Безумовно, варто знову на цьому наголосити, лише за умови, що запропонована модель, дійсно адекватно описує процеси розповсюдження мастила.
Таким чином Олесь вичерпно відповів собі на поставлені запитання.
Найкоротший чи найшвидший?
Помилкова інтуїція і нова задача
Одного разу Олесь й Іванка поверталися додому після однієї з своїх велосипедних мандрівок. Залишалося виїхати на гору, а потім з неї кілька кілометрів скотитися практично до самого порога будинку, де жив Олесь. Наші велосипедисти помалу хекали вгору, аж тут Олесеві дещо спало на думку.
Справа в тому, що скотитися донизу можна було двома шляхами. Один з них — довший, а інший — коротший. Оскільки Олесь був хлопцем компанійським, то зазвичай він на спусках пригальмовував та чекав на Іванку, щоб котитися більш чи менш разом, однією веселою компанією. Та, з іншого боку, Олесеві подобалося відчувати усю стрімкість спусків, тож він, усе ще викручуючи нагору, запропонував Іванці таке.
Оскільки, як вони вже добре знали та, навіть, розуміли причини цього явища, Олесь котиться швидше, то він і запропонував, щоб він донизу покотився довшим шляхом, а Іванка ж — коротшим. Мовляв, так він, з одного боку, зможе скотитися не дуже гальмуючи, а з іншого боку йому так й не доведеться чекати на Іванку, бо та поїде коротшим шляхом.
— От же ж ці твої екперименти! Хоча, чому б і ні?
На тому вони й погодилися, тож через кілька хвилин, коли обидва таки опинилися нарешті на гребені гори, покотилися різними шляхами...
... Яке ж було здивування Олеся, коли він, там де дороги знову зійшлися докупи, не побачив Іванки. «Дивно, невже на мене не почекала», — подумав здивований Олесь. «А може, Іванка зупинилася десь на схилі?» Поки Олесь думав, що сталося, з-за повороту звідки мала була приїхати Іванка, нарешті таки та сама Іванка і вигулькнула. Вона була здивована не менш за Олеся.
— Ти що, крутив педалі, що настільки мене випередив?
— Та ні! А ти що, зупинялася десь?
— Не зупинялася, а мчала! Ух!
Якась дивина, вирішили обидва, й поїхали додому вечеряти. Таким чином з'явилася нова задача.
Приклад-модель
Щоб розібратися, чому сталося так, що коротший шлях виявився довшим за часом, він розглянув наступний простий приклад. Олесь розглянув ситуацію, коли велосипедист має рухатися з точки $A$ до точки $B$ траєкторією $ACB$, як показано на рисунку.
Велосипедист має скотитися донизу та спуститися вертикально на висоту $H=AD$. При цьому горизональне переміщення велосипедиста це $L=DB$. Спочатку велосипедист котиться донизу, а потім долає відстань $CB=L-l$ горизонтально, де $l=DC$.
Для спрощення, Олесь припустив, що велосипедист з велосипедом — це матеріальна точка, він також припустив, що тертя та опір повітря відсутні. Безумовно, це зовсім нереалістичні припущення. Ми вже знаємо, що пояснити у рамках цих припущень, чому важчий велосипед котиться швидше, неможливо. Однак, наразі ми досліджуємо питання, чому рух коротшим шляхом може бути довшим. Цілком може виявитися, що наша, надзвичайно спрощена, модель буде, все ж, корисною.
Позначмо $\beta=\angle ACD$, тоді на похилій ділянці велосипедист рухатиметься із прискоренням \[ a=g\sin(\beta)=g\cdot \frac{H}{\sqrt{H^2+l^2}}, \] оскільки $\sin \beta =\frac{H}{\sqrt{H^2+l^2}}$.
Тож відбуватиметься рівноприскорений рух велосипедиста, й за час $t$ він долатиме, рухаючись похилою ділянкою, шлях $\frac{1}{2}at^2$.
Нехай $t_1$ — це час, за який велосипедист подолає похилу ділянку. Тоді \[ \sqrt{H^2+l^2}=\frac{1}{2}\frac{gH}{\sqrt{H^2+l^2}}t_1^2, \] і, таким чином, \[ t_1=\sqrt{\frac{2(H^2+l^2)}{gH}}. \] За цей час велосипедист розженеться до швидкості \[ v_1=a\cdot t_1=g\cdot \frac{H}{\sqrt{H^2+l^2}}\cdot\sqrt{\frac{2(H^2+l^2)}{gH}}=\sqrt{2gH}. \] Оскільки ми цілковито знехтували тертям, то з цією швидкістю велосипедист подолає пряму ділянку шляху за час \[ t_2=\frac{L-l}{v_1}=\frac{L-l}{\sqrt{2gH}}. \] Отже з точки $A$ у точку $B$ велосипедист дістанеться за час \[ T=t_1+t_2=\sqrt{\frac{2(H^2+l^2)}{gH}}+ \frac{L-l}{\sqrt{2gH}}. \] Звернімо увагу, що цей вираз залежить від $l$, тобто від траєкторії руху!
Олесь розглянув $T$ як функцію $T(l)$ від $l$, та обрахував її похідну \[ T'(l)=\sqrt{\frac{2}{gH}}\cdot\frac{l}{\sqrt{H^2+l^2}}-\frac{1}{\sqrt{2gH}}=\frac{2l-\sqrt{H^2+l^2}}{\sqrt{2gH(H^2+l^2)}}, \] звідки легко отримав, що похідна $T'(l)$ від'ємна для $l\in [0; \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot H)$, дорівнює нулеві для для $l=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot H$, додатна для $l\in (\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot H, L]$.
Останнє можна переписати у вигляді \[ T'(l)<0\text{ для $\frac{l}{H}\in [0; \frac{\sqrt{3}}{3})$},\quad T'(l)=0\text{ для $\frac{l}{H}=\frac{\sqrt{3}}{3}$},\quad T'(l)>0\text{ для $\frac{l}{H}\in (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{L}{H}]$}. \] Оскільки $\frac{l}{H}$ — це котангенс кута $\beta$, то Олесь, зрештою, зробив висновок, що час $T(l)$ зменшується при зменшенні кута $\beta$ від $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{3}$, і збільшується при подальшому зменшенні кута $\beta$. Отже, найшвидше дістатися з точки $A$ до точки $B$ можна, якщо котитися по траєкторії з кутом $\beta=\frac{\pi}{3}$. Але зачекайте... Це ж $60^\circ$!
Тут Олесь задумався... По такому крутому схилу й на лижах навряд поїдеш...
Отже, у реальних умовах виходить, що якнайшвидше було б спочатку скотитися донизу якомога крутішим схилом, а потім вже докотитися по рівній ділянці.
Зв'язок із реальністю
Оскільки спуск, що ним був спустився Олесь, дійсно мав кілька відносно крутих шматків, то виглядало на те, що розглянутий приклад, все ж мав якийсь зв'язок із реальністю.
Тут Олесь вирішив дещо модифікувати свою вже готову комп'ютерну модель велосипедиста, що котиться донизу, й використати її для перевірки своїх висновків на реалістичність. Достатньо було додати горизонтальну ділянку руху.
І дійсно, після врахування тертя, опору повітря та обертання коліс велосипеда, теж виходило, що скотитися крутішим схилом й докотитися по рівному було швидше, аніж котитися донизу із постійним ухилом.
Читач запрошується провести свої власні експерименти. Олесеву модель можна знайти за інтернет-адресою www.velostories.iena.info/fastvsshort.
Зауваження про наближене розв'язання рівнянь
Читач, котрий захоче зробити власну модель-візуалізацію, стикнеться, дуже ймовірно, із таким питанням. Скажімо, потрібно визначити час $t_1$, за який велосипедист скотиться похилою ділянкою. Знехтувавши тертям, ми знайшли просту формулу для обрахунку цієї величини.
А як це зробити, для руху, який описується рівнянням (\ref{eq: downhill solution path})? Тут можна застосувати так званий метод Ньютона, й розв'язати рівняння з довільною точністю.
?:Покотилися до зупинки
Коли Олесеві потрібно було додати до своєї моделі велосипедиста, що котиться згори донизу, ділянку з прямолінійним рухом, він стикнувся із необхідністю зрозуміти, як велосипедист, який котиться, гальмується силами тертя та, можливо, силою тяжіння (якщо кочення відбувається під гору).
Диференціальне рівняння
Ситуація дуже схожа до кочення вниз із тією відмінністю, що, оскільки рух відбувається вгору,
усі сили, які діють на велосипед є в цьому випадку гальмівними: і складова сили тяжіння,
направлена проти напрямку руху, і сила тертя кочення, і сила опору повітря.
Для
\[
k=g\sin\alpha+\mu g\cos\alpha
\]
та зберігаючи інші позначення з розділу про кочення згори, отримаємо рівняння руху
\[
\lambda \cdot v'=-k-\frac{\eta}{m}\cdot v^2,
\]
або ж, розділяючи змінні,
\begin{equation}\label{eq: slowdown}
\lambda \frac{v'}{v^2+\frac{km}{\eta}}=-\frac{\eta}{m}.
\end{equation}
Розв'язок
?:
Час до зупинки, тобто таке $T$, що $v(T)=0$, визначається формулою \[ T=\lambda\cdot \sqrt{\frac{m}{k\eta}}\cdot C. \] Обраховучи первісні функції обох частин рівняння (\ref{eq: slowdown solution speed}), отримаємо \[ x(t)=\lambda \frac{m}{\eta}\cdot \ln\left( \cos(C-\frac{1}{\lambda}\sqrt{\frac{k\eta}{m}}\cdot t)\right)+const. \] У момент часу $t=0$ маємо \[ x_0=x(0)=\lambda \frac{m}{\eta}\cdot \ln\left( \cos C \right)+const. \] Тому \begin{equation}\label{eq: slowdown solution path} x(t)=\lambda\frac{m}{\eta}\cdot \ln\left(\frac{ \cos(C-\frac{1}{\lambda}\sqrt{\frac{k\eta}{m}}\cdot t)}{\cos(C)}\right)+x_0. \end{equation}
Вплив параметрів диференціального рівняння на його розв'язки
Звернімо увагу на те, що, на перший погляд, розв'язки (\ref{eq: slowdown solution speed}) та (\ref{eq: slowdown solution path}) за своїм зовнішнім виглядом суттєво відрізняються від розв'язків (\ref{eq: downhill solution speed}) та (\ref{eq: downhill solution path}), хоча вихідні диференціальні рівняння (\ref{eq: slowdown}) та (\ref{eq: downhill}) дуже подібні.
Дослідімо ж разом з Іванкою та Олесем, чи ці розв'язки дійсно мають різні властивості. Тут читач може хмикнути й подумати, що це й так зрозуміло. Адже при коченні униз, швидкість стабілізується навколо додатного значення. При коченні під гору або ж по горизонтальній поверхні, відбувається гальмування, і швидкість зменшується до нуля, що призводить до зупинки велосипеда.
Однак, можливо, ми зможемо знайти й інші відмінності.
Зауважмо, що ми, разом із Олесем та Іванкою, розв'язали диференціальні рівняння вигляду \begin{equation}\label{eq: general} v'=-B\cdot(v^2-A), \quad B>0, \end{equation} для $A\neq 0$.
Додатні значення $A$
Випадок $A>0$ відповідає ситуації, коли, якщо не враховувати силу опору повітря, переважають сили які працюють на розгін велосипеда. Такими силами є сила тяжіння, як у розділі про кочення донизу, а також сила, яка виникає у результаті обертання велосипедистом педалей. Розв'язком рівняння (\ref{eq: general}) з початковою умовою $v(0)=v_0$ є у цьому випадку функція \begin{equation}\label{eq: solution general A>0} v(t)=\sqrt A \cdot \frac{1+\frac{v_0-\sqrt A}{v_0+\sqrt A}\cdot e^{-2B\sqrt A\cdot t}}{1-\frac{v_0-\sqrt A}{v_0+\sqrt A}\cdot e^{-2B\sqrt A\cdot t}}. \end{equation}
Від'ємні значення $A$
Випадок $A<0$ відповідає ситуації, коли, якщо не враховувати силу опору повітря, переважають сили, які працюють на гальмування велосипеда. Це сила тяжіння та сила тертя кочення. Розв'язком рівняння (\ref{eq: general}) з початковою умовою $v(0)=v_0$ є у цьому випадку функція \begin{equation}\label{eq: solution general A<0} v(t)=\sqrt{-A}\cdot \tan(-B\sqrt{-A}\cdot t+\arctan\frac{v_0}{\sqrt{-A}}). \end{equation}
Зауважмо, що значення $T_{stop}$, для якого $v(T_{stop})=0$, дорівнює \[ T_{stop}=\frac{1}{B\sqrt{-A}}\cdot \arctan\left(\frac{v_0}{\sqrt{-A}}\right). \]
Випадок $A=0$
Для повноти картини розгляньмо також випадок $A=0$. Цей випадок відповідає нереалістичній ситуації, коли на велосипед діє лише сила опору повітря. Тоді, знову розділяючи змінні, переписуємо рівняння \[ v'=-B\cdot v^2, \quad B>0. \] у вигляді \begin{equation} -\frac{v'}{v^2}=B, \end{equation} що має сенс лише у випадку $v\neq 0$. Водночас $v(t)=0$ є тривіальним розв'язком вихідного рівняння.
Обраховуючи первісні функції, маємо \[ \frac{1}{v}=Bt+const,\quad v=\frac{1}{Bt+const}. \] Стала $const$ визначається початковою швидкістю: \[ v_0=v(0)=\frac{1}{const}, \quad const=\frac{1}{v_0}. \] Отже \begin{equation}\label{eq: solution general A=0} v(t)=\frac{v_0}{v_0B\cdot t+1}. \end{equation} Зауважмо, що ця формула враховує також розв'язок $v(t)=0$ для $v_0=0$.
Графіки розв'язків
Побудувавши графіки розв'язків рівняння (\ref{eq: general}) для $A>0$ та $A<0$, можна помітити ще одну відмінність у поведінці розв'язків.
Для двох різних рівнянь із $A > 0$, із значеннями $\sqrt{|A|}$, що незначно відрізняються, відповідні розв'язки теж відрізнятимуться лише незначно із плином часу.
Водночас, це зовсім не так для $A<0$.
Це демонструє, що близькі значення коефіцієнтів рівняння (\ref{eq: general}) у випадку $A<0$ зовсім не означають, що відповідні розв'язки лише незначно відрізнятимуться.
Коли шлях веде круто вгору
Передісторія
Іноді, їдучи незнайомим для себе маршрутом, велосипедисти-мандрівники Олесь та Іванка потрапляли на довгі й надзвичайно круті підйоми. Якось доводилося штовхати велосипед вгору пішки. Бувало, що просто не вистачало більше сил крутити педалі далі, а перемикнути передачу велосипеда не було вже куди.
Бувало також, що, зупинившись з тих чи інших причин на підйомі, просто не виходило знову поїхати вгору. При спробах рушити, велосипед завалювався на бік, й велосипедистам доводилося швидко зістрибувати на ноги, щоб не впасти. «Дивина, щойно їхали собі, хоч і напружуючись, а після перепочинку не можемо?» — щиро дивувалися обидва.
Трішки поміркувавши, обидва швидко погодилися, що справа в тому, що, щоб рухатися на велосипеді, потрібно мати певну мінімальну швидкість для підтримання стійкості. Спробуйте но втримати рівновагу на нерухомому велосипеді. Отож-отож! Тож потрібно швидко розігнати велосипед до певної швидкості. А коли схил крутий, то зробити це зовсім нелегко.
Якщо дорога була більш чи менш широка, то Іванка з Олесем починали рухатися не прямо, а зміщуючись з одного боку дороги на інший, оскільки тоді початковий відтинок щляху не такий крутий. Такий трюк допомагає рушити з місця і, вже розігнавшись, їхати собі далі.
Більше того, Іванка з Олесем помітили, що якщо рухатися вгору немов би хвилькою, то це зберігає сили і часто дозволяє усе ж їхати, а не йти та пхати велосипед догори.
Так народилася ще одна історія про велосипед, математику та здоровий глузд.
Модель
Природно припустити, що площина дороги $ADB$ нахилeна під кутом $\theta$ до горизонтальної площини $ADC$ і напрямок дороги перпендикулярний до спільної прямої $AD$ цих двох площин. Тоді, якщо велосипедист рухається у напрямку дороги, паралельно до $AC$, то він має долати складову $F_g$ сили тяжіння, що направлена протилежно до напрямку руху велосипедиста, тобто \[ F_g=mg\sin(\theta), \] де, як і раніше, $m$ — це маса велосипеда разом з велосипедистом а $g$ — прискорення вільного падіння.
Якщо ж велосипедист рухається під кутом $\alpha$ до напрямку дороги, то він рухається із деяким іншим кутом нахилу до горизонтальної площини $\varphi$.
Синус цього кута можна виразити через $\alpha$ та $\theta$ наступним чином:
\[
\sin\varphi= \frac{BC}{BD}=\frac{BA\cdot \sin\theta}{BD}=\cos \alpha\cdot \sin \theta.
\]
Отже
\[
\sin\varphi = \cos \alpha\cdot \sin \theta,
\]
і тому відповідна складова сили тяжіння, яку треба долати, щоб рухатися — це величина
\[
mg\sin(\varphi)=F_g\cdot \cos \alpha,
\]
яка, вочевидь, менша за $F_g$ якщо кут $\alpha$ відмінний від нуля.
Отже, чим більший кут $\alpha$, тим меншу силу достатньо прикладати, щоб долати дію сили тяжіння. Зрозуміло, якщо рухатися перпендикулярно, до напрямку дороги, то силу тяжіння долати не буде потреби взагалі, бо рух, у цьому випадку, буде горизонтальним.
Ну добре-добре, але ж рухатися треба, усе ж, більш чи менш у напрямку дороги!
Ну так тоді можна рухатися немов би хвилькою! Але ж тоді однак треба буде час від часу, щонайменше короткостроково, долати силу $F_g$. А якщо у ногах нема такої сили? Але зачекайте, якщо мати достатню швидкість, то можна однак долати великий ухил за рахунок набраної кінетичної енергії. Тобто, рухаючись хвилькою, силу можна прикладати меншу.
Необхідна умова для наявності руху
Прикладаючи сталу силу $F$ вздовж шляху довжини $l$, велосипедист виконує роботу $F\cdot l$. Щоб відбувався рух, ця робота у кожен момент часу має перевищувати зміну потенціальної енергії велосипедиста \[ F_g\cdot x=mgx\sin(\theta), \] де $x$ — це зміщення у напрямку дороги. Зауважмо, що величина $x\sin(\theta)$ — це зміна висоти.
Різниця \[ E_k=F\cdot l-F_g\cdot x \] — це кінетична енергія велосипедиста разом з велосипедом.
Запишімо силу $F$ у вигляді кратного сили $F_g$ \[ F=k\cdot F_g=k\cdot mg\sin(\theta). \]
Припустімо, що велосипедист рухається періодичною траєкторією $T$.
Нехай $l(x)$ позначає шлях, який долатиме велосипедист одночасно зміщуючись на $x$ у напрямку дороги.
Тоді умова додатності кінетичної енергії матиме вигляд
\[
E_k=F\cdot l(x)- F_g\cdot x= k\cdot F_g\cdot l(x)- F_g\cdot x=F_g\cdot(k\cdot l(x)-x) > 0,
\]
або ж, еквівалентно,
\[
k>\frac{x}{l(x)} \text{ для кожного $x$}.
\]
Оскільки зрозуміло, що \[ \frac{x}{l(x)}<1,\quad \max\frac{x}{l(x)}<1, \] то для кожного $\max\frac{x}{l(x)} < k < 1$ буде відбуватися рух.
Ці міркування демонструють, що рухаючись «хвилькою», можна прикладати силу, яка менше, за $F_g$. Тут Іванка запропонувала зрозуміти, на скільки меншою від $F_g$ може бути сила $F$. Іншими словами, для якоїсь фіксованої траєкторії руху $T$, Іванка запропонувала порахувати величину $\max\frac{x}{l(x)}$, тобто мінімальне значення $k,$ при якому все ще можливий рух вгору.
Конкретний приклад
Перша спроба
Спочатку Олесь запропонував досліджувати рух велосипедиста по синусоїді. Іванка погодилася, тож вони почали обчислювати довжину дуги графіка функції $f(x)=A\cdot \sin(B\cdot x)$, де $t$ змінюється від $0$ до $X$.
?:
обчислюється формулою \[ L_{x_0, x_1}(f)=\int\limits_{x_0}^{x_1}\sqrt{1+(f'(x))^2}\ dx. \]
\begin{align*} \int\limits_0^X\sqrt{1+A^2B^2cos^2(Bx)}\ dx = &\int\limits_0^X\sqrt{1+A^2B^2-A^2B^2sin^2(Bx)}\ dx =\\ =&\sqrt{1+A^2B^2}\cdot\int\limits_0^X\sqrt{1-\frac{A^2B^2}{1+A^2B^2}sin^2(Bx)}\ dx=\\ &\left|\text{Заміна } s=Bx, dx=\frac{1}{B}\cdot ds, 0\mapsto 0, X\mapsto BX\right|\\ =&\frac{\sqrt{1+A^2B^2}}{B}\cdot\int\limits_0^{BX}\sqrt{1-\frac{A^2B^2}{1+A^2B^2}sin^2(s)}\ ds=\\ =&\frac{\sqrt{1+A^2B^2}}{B}\cdot E(BX; \frac{AB}{\sqrt{1+A^2B^2}}), \end{align*} де, для фіксованого $0 < k < 1$, функція \begin{equation}\label{eq: elliptic integral} E(\psi;k)=\int\limits_0^\psi\sqrt{1-k^2\cdot \sin^2 t}\ dt \end{equation} — це так званий еліптичний інтеграл другого роду.
?:Як можна здогадатися з назви, існують також еліптичні інтеграли першого роду. Це функції \[ F(\varphi; k)=\int\limits_{0}^{\psi} \cfrac{d t}{\sqrt{1-k^2\cdot \sin^2t}}, \] які залежать від параметра $k$, $0 < k < 1$.
Більше того, існують також еліптичні інтеграли третього роду! Це функції \[ \Pi(\varphi; n, k)=\int\limits_{0}^{\psi}\cfrac{d t}{(1-n\cdot \sin^2 t)\sqrt{1-k^2\cdot \sin^2t}}, \] які залежать від двох параметрів $k$ та $n$, $0 < k < 1$, $n\in \mathbb R$.
Еліптичні інтеграли не можуть бути виражені за допомогою елементарних функцій.
Такі функції не можуть бути виражені через елементарні функції.
Друга спроба
Натрапивши на еліптичні інтеграли, Іванка запропонувала відкласти їхнє дослідження на потім і змінити траєкторію руху на рух півколами з радіусом $R$. Обрахувати довжини дуг кола може, без жодних складностей, кожен.
\[
l(x)=R\cdot\beta,\quad x=R-R\cos(\beta), \quad \frac{x}{l(x)}=\frac{1-cos(\beta)}{\beta}.
\]
Побудувавши графік функції $\frac{1-\cos(\beta)}{\beta}$ для $\beta\in [0,\pi]$, Олесь та Іванка зробили висновок,
що у цьому випадку мінімальне можливе значення $k$ має бути близьким до $0.725$,
\[
\max\frac{x}{l(x)}\approx 0.725.
\]
Кінетична енергія, яка має бути невід'ємною для кожного $\beta\in [0, \pi]$, дорівнює
\begin{align*}
E_k=&F_g\cdot(kl(x)-x)=F_g\cdot(kR\beta-R+R\cos(\beta))=\\
=&F_gR\cdot(k\beta-1+\cos(\beta)).
\end{align*}
Побудувавши для різних значень $k$ графіки функції $k\beta-1+\cos(\beta)$, дійсно бачимо, що значення $k$ близьке до $0.725$ є граничним значенням, яке розділяє різні ситуації. Для більших значень $k$
функція $k\beta-1+\cos(\beta)$ набуває лише додатних значень на відрізку $[0,\pi]$, а для менших значень $k$ ця функція може набувати від'ємних значень.
Оскільки, як ми вже зазначили на початку цього розділу, для того, щоб велосипедист не падав з велосипеда, необхідна певна мінімальна швидкість, то мінімальне значення $k$, при якому можливий рух, буде, усе ж, більше за щойно обраховане значення $0.725$.
Про чисельне інтегрування
Еліптичні інтеграли як приклад функцій заданих диференціальним рівнянням
Досліджуючи рух велосипедиста у попередньому розділі, велосипедисти-математики Олесь та Іванка стикнулися з еліптичними інтегралами (\ref{eq: elliptic integral}). \[ E(\psi;k)=\int\limits_0^\psi\sqrt{1-k^2\cdot \sin^2 t}\ dt, \] які, для фіксованого $k$, є функціями від однієї змінної, й які, взагалі кажучи, не можна виразити через елементарні функції.
Але як же, все ж, обраховувати їхні значення, якщо це конче необхідно?
Звернімо увагу, що функцію $f(t)=E(t;k)$ можна описати наступним чином. \[ f'(t)=\sqrt{1-k^2\cdot \sin^2 t}, \quad f(0)=0, \] тобто диференціальним рівнянням із початковою умовою.
Ми знаємо лише значення функції у час $t=0$ та те, як сильно функція змінюється із зміною $t$, тобто похідну функції.
Наближене розв'язання диференціальних рівнянь
Тож маємо задачу про те, як обчислити значення функції $f$ у певній точці, якщо $f$ задана рівнянням \[\ f'(t)=g(t),\quad f(t_0)=x_0,\quad t\in[t_0, T]. \]
Для певного цілого додатного числа $N$ Олесь з Іванкою розділили відрізок $[t_0, T]$ на $N$ частин однакової довжини \[ h=\frac{T-t_0}{N}, \quad t_i=t_0+i\cdot h, \] і порівняно легко, склавши простеньку програму для комп'ютера, обрахували значення $x_1,x_2,\dots, x_N$ за формулою \[ x_i=x_{i-1}+h\cdot y_i,\quad y_i=g(t_i), \quad i>0. \]
Оцінка точності методу
Зрозуміло, що, як ми щойно переконалися, для малих значень $h$ величина $x_1$ незначно відрізнятиметься від $f(t_1)$. Однак, не зовсім зрозуміло, як сильно відрізнятимуться величини $x_i$ та $f(t_i)$ для довільного $i=1,2,\dots,N$.
Однак, Іванка помітила рівність \begin{align*} f(t_m)-x_m=&f(t_m)-(x_{m-1}+h\cdot y_{m-1})=\\ =&(f(t_m)-f(t_{m-1})-h\cdot y_{m-1})+(f(t_{m-1})-x_{N-1})=\\ =&(f(t_m)-f(t_{m-1})-h\cdot y_{m-1})+\\ +&(f(t_{m-1})-f(t_{m-2})-h\cdot y_{m-2})+\dots+\\ +&(f(t_2)-f(t_{1})-h\cdot y_{1})+\\ +&(f(t_1)-f(t_{0})-h\cdot y_{0})=\\ =&\sum\limits_{i=1}^{m} (f(t_i)-f(t_{i-1}) - h\cdot y_{i-1} ), \end{align*} звідки, використовуючи нерівність трикутника, вони з Олесем отримали оцінку \begin{align*} |f(t_m)-x_m|=&|\sum\limits_{i=1}^{m} (f(t_i)-f(t_{i-1}) - h\cdot y_{i-1} )|\le\\ \le&\sum\limits_{i=1}^{m}|f(t_i)-f(t_{i-1}) - h\cdot f'(t_{i-1})|\le\\ \le&\sum\limits_{i=1}^{m}\frac{M}{2}h^2=m\cdot \frac{M}{2}h^2=\frac{M}{2}\cdot(mh)\cdot h\le\\ \le&\frac{M(T-t_0)}{2}\cdot h= \frac{M(T-t_0)^2 }{2N}, \end{align*} де $M=\max_{[t_0, T]}|f''(t)|$.
Оскільки величина $\frac{M(T-t_0)}{2}\cdot h= \frac{M(T-t_0)^2 }{2N}$ прямує до нуля при зменшенні $h$ (відповідно, при збільшенні $N$), можна обрахувати значення функції $f$ на відрізку $[t_0, T]$ із довільною наперед заданою точністю $\varepsilon>0$. Достатньо лише обрати $N$, що перевищує $\frac{M(T-t_0)^2}{2\varepsilon}$. Тоді $|f(t_m)-x_m|< \varepsilon$ для кожного $m$.
Можливе покращення точності
Насправді, необхідну точність можна отримати для менших значень $N$, якщо застосовувати формулу \[ x_i=x_{i-1}+h\cdot\frac{y_{i-1}+y_i}{2}. \] Читач запрошується самостійно дослідити переваги такого підходу.
Наближене обчислення еліптичних інтегралів
Повертаючись до обрахунку значень еліптичних інтегралів. Оскільки друга похідна дорівнює \[ E''(t;k)=-\frac{k^2\sin(t)\cos(t)}{\sqrt{1-k^2\sin^2(t)}}, \] то можемо оцінити її максимальне абсолютне значення \[ M=\max_{t\in \mathbb R}|E''(t;k)|\le \frac{k^2}{\sqrt{1-k^2}}. \] Щоб обрахувати $E(T;k)$ із точністю $\varepsilon$ для кожного $t\in[0, T]$, достатньо обрати найменше $N>\frac{k^2T^2}{2\varepsilon\sqrt{1-k^2}}$ та обрахувати значення $x_N$, як пояснено вище.
Таким чином Олесь та Іванка побудували графіки функцій $E(t;k)$ для деяких значень $k$.
Зрозуміло, що для малих $k$ графік має наближатися до графіка функції
\[
f(t)=\int\limits_0^t\sqrt{1}\ ds=t,
\] а для значень $k$ близьких до $1$, графік наближається до графіка функції
\[
f(t)=\int\limits_0^t\sqrt{1-\sin^2 s}\ ds=\int\limits_0^t|\cos(s)|\ ds=
\begin{cases}
\sin(t)&\text{ для $t\in[0,\frac{\pi}{2}]$,}\\
2-\sin(t)&\text{ для $t\in[\frac{\pi}{2}, \pi]$.}
\end{cases}
\]
Оцінка ефективності синусоїдальної траєкторії при русі угору
Повертаючись до попереднього розділу, зауважмо, що для траєкторії, яка задана функцією
\[
f(x)=A\cdot\sin(Bx),
\]
значення максимуму
\[
\max\limits_{x\in[0, \frac{\pi}{B}]}\frac{x}{l(x)}
\]
спадає від $1$ до нуля із збільшенням значення добутку $A\cdot B$ від нуля до нескінченності. Зокрема, значення $0.725$, яке ми обрахували для руху півколами, досягається приблизно для $A\cdot B\approx 1.60$.
Зауважмо, що, із мінімальними змінами, наш метод наближеного розв'язування можна застосувати до диференціального рівняння виду \[ f'(t)=G(t, f(t)),\quad f(t_0)=x_0,\quad t\in[t_0, T]. \] Значення обраховуються за тією ж формулою $x_{i+1}=x_{i}+h\cdot y_{i}$, де $y_i=G(t_i, x_i)$. Оцінка похибки буде, однак, дещо складніша. Зокрема, ми могли б наближено розв'язати рівняння (\ref{eq: general}).